二阶方阵的分解(The Decomposition of 2


诚如〈平面上的线性变换〉一文所言,平面上的线性变换都会对应到唯一的二阶方阵。因此,透过二阶方阵分解成基本矩阵的乘积,我们就能了解这个方阵所对应的线性变换是由那些基本变换所合成,这也是本文最主要的内容。

想要将一个方阵进行分解,我们得从矩阵的列运算谈起,矩阵的列运算有下面三种:

事实上,对矩阵 $$M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right]$$ 进行列运算的结果,等价于将矩阵 $$M$$ 乘上某些特殊矩阵:二阶方阵的分解(The Decomposition of 2

换言之,任一个二阶方阵 $$M$$ 经过基本列运算的结果就等于在 $$M$$ 的左边乘上所对应的矩阵。

其中,$$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&r\\ 0&1 \end{array}} \right]$$ 与 $$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ r&1 \end{array}} \right]$$分别表示沿 $$x$$ 轴方向和沿 $$y$$ 轴方向的推移变换;

$$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} r&0\\ 0&1 \end{array}} \right]$$ 与 $$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&r \end{array}} \right]$$ 分别表示沿 $$x$$ 轴方向和沿 $$y$$ 轴方向的伸缩变换 $$(r>0)$$;

而 $$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right]$$ 表示对于直线 $$y=x$$ 的镜射变换。

接下来,以 $$M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ – 3}\\ 1&2 \end{array}} \right] $$ 为例实际进行分解,依据矩阵列运算:

二阶方阵的分解(The Decomposition of 2

也就是说,$$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – 2}\\ 0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&{\frac{{ – 1}}{3}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ – 3}\\ 1&2 \end{array}} \right]$$

因此,$${\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right]^{ – 1}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&{\frac{{ – 1}}{3}} \end{array}} \right]^{ – 1}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – 2}\\ 0&1 \end{array}} \right]^{ – 1}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ – 3}\\ 1&2 \end{array}} \right]$$

$$\Rightarrow\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ – 3}\\ 1&2 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&{ – 3} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 0&1 \end{array}} \right]$$

由于 $$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&{ – 3} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&{ – 1} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&3 \end{array}} \right]$$,

故 $$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ – 3}\\ 1&2 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&{ – 1} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&3 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 0&1 \end{array}} \right]$$。

所以,二阶方阵 $$M=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ – 3}\\ 1&2 \end{array}} \right]$$所对应的线性变换,可以看成下列线性变换的合成:
「先沿 $$x$$ 轴方向推移坐标的 $$2$$ 倍」,再「沿 $$y$$ 轴方向伸缩 $$3$$ 倍」,
接着「对 $$x$$ 轴镜射」,最后「对直线 $$y=x$$ 镜射」。

透过上述过程,读者大概也发现了并非任意的二阶方阵均能分解,必须满足 $$\det (M) \ne 0$$ 的条件。在此前提下,二阶方阵 $$M$$ 可以化成一些基本矩阵的乘积,而这些基本矩阵对应的线性变换为镜射、伸缩和推移。因此,二阶方阵$$M$$ ($$\det (M) \ne 0$$)所对应的线性变换正是镜射、伸缩、推移,或是它们的合成。